베니의 자료구조 - 트리 (Tree)

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학습 목표

• 트리(Tree)의 기본 개념을 이해한다.
• 트리(Tree)의 종류를 구분할 수 있다.
• 트리(Tree)의 특징을 이해할 수 있다.

트리(Tree)의 개념

트리는 노드로 이루어진 자료 구조

1. 트리는 하나의 루트 노드를 갖는다.
2. 루트 노드는 0개 이상의 자식 노드를 가지고 있다.
3. 그 자식 노드 또한 0개 이상의 자식 노드를 가지고 있고, 이는 반복적으로 정의된다.

• 노드(node)들과 노드들을 연결하는 간선(edge)들로 구성되어 있다.

  • 트리에는 사이클(cycle)이 존재할 수 없다.

  • 노드들은 특정 순서로 나열될 수 있고 그렇지 않을 수도 있다.

  • 각 노드는 부모 노드로의 연결이 있을 수도 있고 없을 수도 있다.

  • 각 노드는 어떤 자료형으로도 표현 가능하다.

    class Node {
      public String name;
      public Node[] children
    }

• 비선형 자료구조로 계층적 관계를 표현한다 Ex) 디렉토리 구조, 조직도

• 그래프의 한 종류

  • 사이클(cycle)이 없는 하나의 연결 그래프(Connected Graph)
  • 또는 DAG(Directed Acyclic Graph, 방향성이 있는 비순환 그래프)의 한 종류 이다

트리(Tree)와 관련된 용어

- 루트 노드(root node) : 부모가 없는 노드, 트리는 하나의 루트 노드로만 가진다.
- 단말 노드(leaf node) : 자식이 없는 노드, '말단 노드' 또는 '잎 노드'라고도 부른다.
- 내부(internal) 노드 : 단말 노드가 아닌 노드
- 간선(edge) : 노드를 연결하는 선 (link, branch 라고도 부른다)
- 형제(sibling) : 같은 부모를 가지는 노드
- 노드의 크기(size) : 자신을 포함한 모든 자손 노드의 개수
- 노드의 깊이(depth) : 루트에서 어떤 노드에 도달하기 위해 거쳐야 하는 간선의 수
- 노드의 레벨(level): 트리의 특정 깊이를 가지는 노드의 집합
- 노드의 차수(degree) : 하위 트리 개수 / 간선 수(degree) = 각 노드가 지닌 가지의 수
- 트리의 차수(degree of tree) : 트리의 최대 차수
- 트리의 높이(height) : 루트 노드에서 가장 깊숙히 있는 노드의 깊이

트리(Tree)의 특징

-   그래프의 한 종류이다. **'최소 연결 트리'**라고도 불린다.
-   트리는 **계층 모델** 이다.
-   트리는 DAG(Diredted Acyclic Graphs, 방향성이 있는 비순환 그래프)의 한 종류이다.
    -   loop나 circuit이 없다. 당연히 self-loop도 없다.
    -   즉, 사이클이 없다.
-   노드를 N개 가진 트리는 항상 N-1개의 간선(edge)을 가진다.
    -   즉, 간선은 항상 (정점의 개수 -1)만큼을 가진다.
-   루트에서 어떤 노드로 가는 경로는 유일하다.
    -   임의의 두 노드 간의 경로도 유일하다. 즉, 두 개의 정점 사이에 반드시 1개의 경로만을 가진다.
-   한 개의 루트 노드만이 존재하며 모든 자식 노드는 한 개의 부모 노드만을 가진다.
    -   부모-자식 관계이므로 흐름은 top-bottom 아니면 bottom-top으로 이루어진다.
-   순회는 `Pre-order(전위)`, `In-order(중위)`, `Post-order(후위)`로 이루어진다.  
    이 3가지 모두 DFS/BFS 안에 있다.
-   트리는 이진 트리, 이진 탐색 트리, 균형 트리(AVL 트리, red-black 트리), 이진 힙(최대입, 최소힙) 등이 있다.

트리(Tree)의 종류

트리 VS 이진 트리

• 이진 트리(Binary Tree)

  • 각 노드가 최대 두 개의 자식을 갖는 트리

  • 모든 트리가 이즌 트리는 아니다.

  • 이진 트리 순회
    a. 중위 순회(in-order traversal): 왼쪽 가지 -> 현재 노드 -> 오른쪽 가지

      void inOrderTraversal(TreeNode node) {
         if(node != null) {
            inOrderTraversal(node.left);
            visit(node;
            inOrderTraversal(node.right);
          }
      }

    b. 전위 순회(pre-order traversal): 현재 노드 -> 왼쪽 가지 -> 오른쪽 가지

      void preOrderTraversal(TreeNode node) {
          if(node != null) {
          visit(node);
          preOrderTraversal(node.left);
          preOrderTraversal(node.right)
        }
      }

    c. 후위 순회(post-order traversal): 왼쪽 가지 -> 오른쪽 가지 -> 현재 노드

      void postOrderTraversal(TreeNode node) {
          if(node != null) {
            postOrderTraversal
        }
      }

이진 트리 VS 이진 탐색 트리

• 이진 탐색 트리(Binary Search Tree)
  • 모든 노드가 아래와 같은 특정 순서를 따르는 속성이 있는 이진 트리
  • 모든 왼쪽 자식들 <= n < 모든 오른쪽 자식들 (모든 노드 n에 대해서 반드시 참)

균형 트리 VS 비균형 트리

• 균형 트리
  • O(logN) 시간에 insert와 find를 할 수 있을 정도로 균형이 잘 잡혀 있는 경우
  • Ex) 레드-블랙 트리, AVL 트리

완전 이진 트리 VS 전 이진 트리 VS 포화 이진 트리

• 전 이진 트리(Full binary Tree 또는 Strictly Binary Tree)

  • 
  • 모든 노드가 0개 또는 2개의 자식 노드를 갖는 트리

• 완전 이진 트리(Cpmplete Binary Tree)

  • 
  • 트리의 모든 높이에서 노드가 꽉 차 있는 이진 트리. 즉, 마지막 레벨을 제외하고 모든 레벨이 완전히 채워져 있다.
  • 마지막 레벨은 꽉 차 있지 않아도 되지만 노드가 왼쪽에서 오른쪽으로 채워져야 한다.
  • 마지막 레벨 h에서 (1 ~ 2h-1)

• 포화 이진 트리(Perfect Binary Tree)

  • 
  • 전 이진 트리이면서 완전 이진 트리인 경우
  • 모든 말단 노드는 같은 높이에 있어야 하며, 마지막 단계에서 노드의 개수가 최대가 되어야 한다.
  • 모든 내부 노드가 두 개의 자식 노드를 가진다.
  • 모든 말단 노드가 동일한 깊이 또는 레벨을 갖는다.
  • 노드의 개수가 정확히 (2^k)-1개여야 한다. (k: 트리의 높이) -> 흔하게 나타나는 경우가 아니다.
    즉, 이진 트리가 모두 포화 이진 트리일 것이라고 생각하지 않는다.

이진 힙(최소힙과 최대힙)

• 최소힙(Min Heap)

  • 트리의 마지막 단계에서 오른쪽 부분을 뺀 나머지 부분이 가득 채워져 있는 완전 이진 트리이며, 각 노드의
    원소가 자식들의 원소보다 작다.
    • 즉, key(부모 노드) >=key(자식 노드)인 완전 이진 트리
    • 가장 큰 값은 루트 노드이다.
    • N개가 힙에 들어가 있으면 높이는 log(N)이다.

• 최대힙(Max Heap)

  • 원소가 내림차순으로 정렬되어 있다는 점에서만 최소힙과 다르다.
  • 각 노드의 원소가 자식들의 원소보다 크다.

• 힙(heap)이란 참고

트라이(trie) ('접두사 트리(Prefix Tree)'라고도 부른다.)

• 트라이
  • n-차 트리(n-ary Tree)의 변종
  • 각 노드에 문자를 저장하는 자료구조
  • 따라서 트리를 아래쪽에서 순회하면 단어 하나가 나온다.
  • 접두사를 빠르게 찾아보기 위한 흔한 방식 으로, 모든 언어를 트라이에 저장해 놓는 방식이 있다.
  • 유효한 단어 집합을 이용하는 많은 문제들은 트라이를 통해 최적화할 수 있다.

트리(Tree)의 구현 방법

기본적으로 트리는 그래프의 한 종류이므로 그래프의 구현 방법(인접 리스트 또는 인접 배열)으로
구분할 수 있다.

인접 배열 이용

1. 1차원 배열에 자신의 부모 노드만 저장하는 방법
   • 트리는 부모 노드를 0개 또는 1개를 가지기 때문
   • 부모 노드를 0개: 루트 노드
2. 이진 트리의 경우, 2차우너 배열에 자식 노드를 저장하는 방법
   • 이진 트리는 각 노드가 최대 두 개의 자식을 갖는 트리이기 때문
   • Ex) A[i][o]: 왼쪽 자식 노드, A[i][1]: 오른쪽 자식 노드인접 리스트 이용
3. 가중치가 없는 트리의 경우
   • ArrayList< ArrayList > list = new ArrayList<>();
4. 가중치가 있는 트리의 경우
   • 1) class Node { int num, dist; // 노트 번호, 거리 } 정의
   • 2) ArrayList[] list = new ArrayList[정점의 수 + 1];

그래프와 트리의 차이(중요)

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References

• Heee's Development Blog